Perce et justesse

Tout part de la question bête et méchante sur une clarinette : pourquoi mon mi grave est trop bas alors que mon si clairon est juste ? (ou tout autre configuration du même genre). Plusieurs personnes l'ont demandé (ailleurs qu'ici), et moi même il faut que je mette de l'ordre dans ce que je sais la dessus, donc c'est parti.

Préambule

Une grande part des idées développées ici provient des articles et notes de cours de Arthur H. Benade, acousticien américain ayant beaucoup travaillé sur les instruments à vent en général, sur la clarinette en particulier, et sur les problèmes d'accord et d'intonation de ces instruments. Une partie de ses écrits est disponible à l'adresse suivante. J'ai aussi été piocher dans des sources plus vulgarisées, de façon à essayer de maintenir un niveau théorique accessible.

Introduction

Le problème général sous-jacent est l'accord et l'ajustement des instruments à vent. Ce problème est très complexe à résoudre. Il faut bien comprendre qu'il n'y a pas de recette miracle. Un instrument à vent est un système complexe, dépendant de pas mal de paramètres, et modifier un de ces paramètres a des conséquences sur tous les autres. Notamment, on se rendra compte qu'essayer de corriger un problème de justesse a forcément des répercutions en terme de timbre et de réponse dynamique de l'instrument. Les quelques notes qui suivent essayent de dégager des grands principes sous une forme vulgarisée (mais on échappera pas à quelques notions de physique, désolé...).

Je commencerai par une petite synthèse historique sur diverses solutions utilisées au cours de l'histoire de la clarinette pour résoudre ces problèmes d'accord. Cela vous donnera (j'espère) quelques idées de base sur les problèmes à résoudre.

Je vous présenterai ensuite quelques principes physique permettant de répondre à certains des problèmes posés. Je ne répondrai pas à tous les problèmes, d'abord parce que moi même je ne maîtrise pas le sujet à fond, et ensuite parce que l'idée est ici de vulgariser, autrement dit de donner des intuitions.

L'accord des clarinettes

Ce que je vais vous raconter ici concernant l'accord de la clarinette vu sous un angle historique est une synthèse d'un article de vulgarisation de Arthur Benade sur le sujet1. En fait, cet article va beaucoup plus loin qu'une simple description de l'évolution des techniques utilisées pour résoudre les problèmes d'accord. Je trouve qu'il met un drôle de coup de pied dans la fourmilière, autrement dit il remet sacrément en question la façon dont sont conçues les clarinettes Boehm actuelles. C'est vraiment très très intéressant, et j'ai gardé tout cet aspect dans la synthèse/traduction qui suit. Même si je n'ai pas traduit in extenso cet article (j'ai parfois un peu abrégé certains passages), je vais quand même mettre tout entre guillemets, car c'est quand même de la quasi citation.

« Si on observe l'évolution de la conception d'un instrument de musique tout au long de son histoire, on peut mettre en relief une partie de ce que ses fabricants ont découvert à son propos, au fur et à mesure de leur confrontation aux tares de l'instrument, et en tentant d'y palier.

Commençons par regarder quelques principes de bases soutendant l'accord et la réponse d'une clarinette2. Commençons par considérer une clarinette très simple, formée d'un tube cylindrique, et munissons la d'une rangée de trous répartis uniformément, de façon à pouvoir produire une gamme chromatique allant des notes du chalumeau jusqu'aux clefs de cadence situées les plus « au nord » de l'instrument. La justesse et la réponse en terme de timbre de cet instrument nous apparaîtra bonne sur les deux premiers tiers de la gamme du registre chalumeau. Si l'instrument est équipé d'une clé de registre telle qu'on la connaît, on se rendra alors compte que la partie médiane du registre clairon (entre le ré5 et le la5 environ) est assez correctement juste. Par contre, si on descend en dessous du ré, les notes seront un peu trop hautes, et si on monte au dessus du la elles seront beaucoup trop hautes.

En ce qui concerne le timbre et la réponse de ces notes du registre clairon, elle est excellente dans la partie médiane, plutôt bonne dans la partie basse, et un peu agressive dans la partie haute, quand on va vers le do6.

Une rapide expérimentation permet de constater que c'est le trou de registre lui même qui est responsable de l'élévation des notes du registre clairon. Si on attaque une note de ce registre normalement et qu'on relâche la clé de registre en maintenant l'émission de la note, on constate que la douzième redevient presque parfaite.

Donc finalement, la moyen le plus simple de rendre juste le registre clairon par rapport au chalumeau serait de supprimer la clé de registre. Avouons que ça ne serait pas très pratique. Une autre solution serait de déplacer les trous des notes incriminées (au dessus du la5 et en dessous du ré5 vers le bas. Cela corrigerait le problème du registre clairon, mais le reporterait sur le registre chalumeau (et médium) qui deviendrait progressivement trop bas à ses deux extrémités. En revanche, le timbre et la réponse de l'instrument seraient pratiquement inchangés.

Une autre méthode permettant de baisser la hauteur des notes aux extrémités du registre clairon serait de diminuer la taille des trous allant du la5 au do6 et de ré5 au si4. Dans ce cas, l'effet abaissant sur les notes du chalumeau serait moins perceptible. En revanche, le timbre aux deux extrémités du chalumeau deviendrait sourd, faible et instable. Les notes correspondantes du clairon seraient aussi quelque peu affectées.

Il existe encore une autre approche possible pour abaisser les extrémités du registre clairon. Élargir la perce à l'extrémité la plus basse et/ou la rétrécir en haut de l'instrument ferait « monter » le registre chalumeau, mais ferait aussi monter le registre clairon dans une moindre proportion, réduisant ainsi l'intervalle entre les deux registres pour le rapprocher de la douzième. Il suffit alors de choisir la quantité de changement à apporter à la perce pour arriver à un intervalle de douzième juste, et de déplacer les trous vers le bas de l'instrument pour rétablir l'accord global de l'instrument. Le problème est que dans cette configuration, on se rend compte que le timbre et la réponse du chalumeau sont sérieusement dégradés, ainsi que le clairon.

Si on récapitule un peu ce qui vient d'être dit, voici ce que nous avons appris :

  • La clé de registre hausse l'accord des notes du registre clairon de façon progressive, de chaque côté d'une note pivot qui n'est pas affectée, le mi5.
  • On peut corriger ce problème de justesse du registre clairon en modifiant certains paramètres, mais on échappe pas à des effets collatéraux :
modification effet indésirable avantage
position des trous accord du chalumeau faussé timbre et réponse inchangés
diamètre des trous accord du chalumeau faussé, timbre très affecté  
géométrie de la perce timbre et réponse du chalumeau affectés douzièmes parfaites

Les fabricants d'instruments n'ont pas nécessairement décrit le problème de l'accord de la clarinette dans les termes utilisés ici. En revanche, l'étude d'instruments anciens montre qu'ils comprenaient ces phénomènes, y compris au temps de l'apparition de la clarinette. Après tout, les facteurs d'instruments étaient déjà familiers de ces problèmes de trous et de perce, pour les rencontrer sur les flûtes, les hautbois et les bassons. On remarque aussi une remarquable constance dans les réponses apportées à ce problème du trou de registre dans toute l'Europe au cours du XIXème siècle. »

Conception de la clarinette, de l'époque de Mozart à 1930

« Très tôt dans l'histoire du développement de la clarinette, on s'est rendu compte que raccourcir un petit peu l'extrémité inférieure, élargir légèrement les derniers centimètres de la perce, cylindrique par ailleurs, et ajouter un pavillon plus ou moins conique abaissaient le si et le do du bas du clairon, suffisamment pour que le clarinettiste puisse corriger ces notes sans avoir à fournir un effort démesuré. Les clarinettistes trouvèrent parallèlement qu'abaisser ces notes en relâchant légèrement leur embouchure améliorait le timbre de façon significative.

À l'autre extrémité du registre clairon, il était aussi possible d'abaisser les notes en relâchant l'embouchure. En d'autres termes, une clarinette équipée d'un pavillon et de cette perce légèrement élargie dans sa partie basse pouvait produire un bon timbre et un bon accord du registre clairon, le coût étant une coloration du timbre un peu trop prononcée dans le haut du registre clairon. Le chalumeau était aussi assez bon (ça c'est tel que le dit Benade, je pense qu'il veut dire que le timbre était bon et la réponse dynamique aussi). Une expérimentation un peu plus poussée a montré que l'articulation des toutes les notes du clairon était plus claire et plus propre si l'accord était approprié pour la tension d'embouchure qui donnait la sonorité la plus pleine et la plus stable, une fois la note émise3.

L'instrument que nous avons décrit dans les paragraphes précédents est grosso modo celui qui a été utilisé de l'époque de Mozart jusqu'à celle de Schubert, ce qui prouve que le modèle était musicalement utilisable. »

J'ajouterai pour ma part que cela ne prouve pas qu'il était facilement utilisable, mais peut être plus pour des questions de mécanique (peu de clés, voir la présentation historique de la clarinette) que pour des questions d'émission ou de timbre. Personnellement, je constate a posteriori qu'au cours de mes expérimentations sur les clarinettes et les saxophones en bambou, j'ai fait certaines des constatations mentionnées dans les paragraphes précédents. Effectivement, avec une perce quasi cylindrique telle que celle décrite, la sonorité du registre grave est excellente, beaucoup plus claire que ce qu'on trouve sur les instruments actuels, mais on va y revenir par la suite.

Je vous abrège rapidement tout un paragraphe ou Benade montre qu'en fait, le clarinettiste avait certes un certain effort à produire pour être juste et avoir un bon timbre, mais que cet effort pouvait très largement devenir une habitude, tout comme le font encore aujourd'hui les hautboïstes ou les trompettistes, qui « jouent » beaucoup plus sur l'embouchure que les clarinettistes actuels (les classiques du moins, sans jugement de valeur aucun). Il dit ensuite quelque chose qui personnellement me donne à réfléchir :

« Les facteurs de l'époque auraient parfaitement pu produire des instruments avec douzièmes justes, mais ils ne l'ont pas fait parce que leurs clients, habitués à une certaine gymnastique de l'embouchure, n'auraient pas toléré la perte de réponse dynamique et de coloration du timbre qui aurait accompagné un tel accord.

Au alentour des années 1820–1830, on a découvert qu'élargir un petit peu la perce au dessus des trous (dans la région du barillet), améliorait le médium et aidait à l'amélioration du timbre de la partie la plus aiguë du registre clairon. Cela entraînait aussi une petite élévation du haut du clairon, nécessitant un ajustement un peu plus important de la part du clarinettiste, mais en pratique, ce n'était pas un gros problème. Les clarinettes non-Boehm jusqu'à aujourd'hui sont accordées sur ces principes, et les clarinettes Boehm (la mécanique que nous connaissons tous) ont été accordées ainsi jusque dans les années 1930. »

Changement de conception dans les années 1940

« À la fin de la deuxième guerre mondiale, une autre philosophie de l'accord des clarinettes est apparue, partant de bonnes intentions mais produisant, selon Benade, des effets néfastes. Ce sont les facteurs de clarinettes Boehm qui ont introduit ces nouveaux principes. Avant d'expliquer ce nouveau schéma d'accord, rappelons quelque chose de familier à propos du comportement des anches. Tout le monde sait que tirer ou relâcher l'embouchure fait monter ou baisser la note. Quelque chose de moins connu en revanche est que lorsqu'on augmente la pince, l'élévation de la note est de moins en moins importante.

En d'autres termes, une clarinette devient très « stable » en hauteur de note si elle est jouée avec une embouchure très tirée. Un certain nombre de gens ont alors pensé que si une clarinette pouvait être accordée pour une utilisation avec une embouchure tirée, cela demanderait moins de contrôle sur l'embouchure de la part de l'instrumentiste. Il lui suffirait en quelque sorte de tirer et souffler, et c'est tout. Les défenseurs de cette idée pensaient qu'ainsi ils relevaient l'instrumentiste d'une tâche difficile. Une fois que ce style de jeu utilisant une embouchure très pincée est accepté, il devient assez facile de décider d'un ensemble de proportions pour la perce et les trous pour donner une clarinette qui arrive à jouer une gamme chromatique tempérée exacte sur toute son étendue » (là je trouve qu'il abuse un peu, le monsieur Benade, mais ce n'est pas complètement faux non plus).

Encore une fois, ce que dit Benade dans ce qui suit est assez déstabilisant (je trouve) mais ça donne vraiment à réfléchir sur la pratique instrumentale. Je vous laisse apprécier.

« Toutes les clarinettes Boehm d'aujourd'hui sont construites suivant ces principes. En première approche, les facteurs semblent avoir résolu les problèmes d'accord de la clarinette, en enlevant toute responsabilité à l'instrumentiste. Ils ont complètement intégré le principe qui veut que la musique actuelle se joue en utilisant le tempérament égal. Mais en fait, seul le piano utilise ce tempérament : tous les musiciens d'un niveau avancé utilisant d'autres instruments prennent la responsabilité d'abaisser ou d'élever leurs notes pour mieux les intégrer à l'environnement harmonique4. En d'autres termes, les concepteurs de la clarinette actuelle ont handicapé l'instrumentiste en lui retirant une de ses ressources.

Un autre problème apparaît avec les clarinettes conçues pour être jouées avec une embouchure tirée. La taille des trous, et surtout la perce fortement divergente sur le tiers inférieur de l'instrument conduisent à des notes sourdes, faibles et ayant peu de réponse à chaque extrémité du registre chalumeau. En bref, la stabilité de la hauteur des notes a été instaurée au détriment du timbre, de l'articulation, et de la capacité à jouer juste au sein d'un ensemble. »

Voila, je vais en rester là sur ce chapitre, je pense que les grands principes de correction sont dégagés, et que les différentes voies qui ont été explorées le sont aussi. Essayons maintenant de regarder d'un peu plus près ce qui se passe d'un point de vue physique.

Colonne d'air et modes vibratoires

Nous allons essayer de regarder ici d'un peu plus près les principes qui lient la géométrie de la perce à l'accord de l'instrument. Je n'aborderai pas les incidences sur le timbre (ou très peu et de façon assez indirecte), car j'avoue que j'ai déjà des difficultés à comprendre moi même, donc je suis très loin de pouvoir le restituer simplement et clairement.

Pour commencer, nous allons rappeler quelques propriété des colonnes d'air, qui permettront d'expliquer certains phénomènes par la suite. Ces propriétés soutendent l'utilisation et la mise au point des instruments à vent, et peuvent être utilement énoncées dès le départ. La signification et les implications de ces propriétés deviendront plus clairs au fur et à mesure.

Je ne reviendrai pas sur les principes de base de mise en vibration d'une colonne d'air, et les différents types de résonateurs qui existent. J'en parle un petit peu dans l'article sur le placement des trous, sinon il existe à ma connaissance deux bonnes sources de vulgarisation sur le sujet5,6. Si vous êtes intéressé par quelque chose de plsu consistant, il y a aussi

Nous prendrons comme point de départ un tuyau cylindrique fermé à une extrémité, de longueur \(L\) et de rayon \(a\) tel que celui présenté dans la figure ci dessous. Ce modèle parfaitement théorique correspond, du point de vue du comportement vibratoire de la colonne d'air, aux instruments à anche (simple ou double) et aux instrument à embouchure (trompette, etc.). La version cylindrique présentée est le modèle idéalisé d'une clarinette.

tuyau1.png
Figure 1 : Tuyau cylindrique fermé à une extrémité

Les fréquences naturelles qui peuvent être produites par ce tuyau sont : \[f_n=(2n-1)\frac{c}{4L}\] où \(n=1,2,\ldots\) est appelé le numéro de mode, et \(c\) est la vitesse de propagation du son dans l'air. Dans le cas d'une clarinette, on peut raisonnablement poser \(c=345m/s\)7.

Par exemple, si on considère un tuyau d'un mètre de long, les fréquences successivement produites par des différents modes vibratoires seront \(f_1=86.25Hz\), \(f_2=3\times86.25=258.75Hz\), \(f_3=5\times86.25=431.25Hz\) …

Ne vous préoccupez pas des histoires de « correction de fin de tuyau », etc, car il y a plein d'à cotés de ce genre et nous n'en finirions jamais… La plus familière n'est de toute façon pas la plus importante pour ce qui nous concerne ici (elle l'est pour d'autres raisons, si vous avez lu le papier sur le placement des trous sur les instruments à vent).

Un outil de mesure important pour la suite est la courbe de résonance de l'impédance d'entrée mesurée à l'extrémité fermée (c.-à-d. à l'embouchure). Cette courbe ressemble à celle qui est montrée à la figure ci dessous. Cette courbe exprime l'impédance d'entrée en fonction de la fréquence d'excitation (c'est à dire la fréquence imposée au système pour le mettre en vibration). Dit plus simplement, elle nous dit à quelles fréquences la perce a une tendance naturelle à bien sonner.

courbe-resonance.png
Figure 2 : Courbe de résonance de l'impédance d'entrée mesurée à l'extrémité fermée

Quelques remarques sur cette courbe :

  • La hauteur des pics décroît d'un facteur \(\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\) ;
  • la largeur de bande à mi-puissance (indiquée par les petites flèches bleues sur le schéma) croît de \(\sqrt{2n-1}\).
  • on a pics significatifs (exploitables d'un point de vue sonore) tant que \(\frac{Z\pi f_n}{c}a\ll 2\).

L'idée de base de cette courbe est que le premier pic, le plus important, correspond au régime vibratoire de base de la perce. Sur la clarinette, c'est le chalumeau (et même simplement le mi grave, si on considère toute la perce). Le deuxième pic est le second mode vibratoire. Sur la clarinette, c'est le clairon (toujours si on considère toute la perce, le si dans la portée). Ce second régime sort moins facilement (c'est pour cela qu'on adjoint une clé de registre aux instruments, pour justement faire résonner l'instrument dans ce mode vibratoire plus facilement8). Et ainsi de suite ...

Donc, pour notre perce de référence, les fréquences naturelles (fréquences de résonance), font partie de la séquence \(1,3,5,\ldots\) et sont de ce fait constituées des membres impairs de la série des harmoniques. En partant de cette constatation, on peut se demander quel est l'intervalle musical qui sépare ces différentes fréquences ? Par exemple, quel est le nom de l'intervalle musical tel que \(f_2/f_1=3/1=??\). Sur notre clarinette rustique, si on considère toute la perce, c'est l'intervalle qui sépare le mi grave (mode 1) du si clairon (mode 2). Ce n'est pas trivial ! En fait, ici, l'intervalle le plus proche est la douzième (vous vous en doutiez un peu je pense). Oui mais voilà, j'ai bien dit « l'intervalle le plus proche » ! En fait, cet intervalle représente un peu moins qu'une douzième.

Si on répète la même question pour \(f_3/f_2\), c'est à dire qu'on veut connaître l'intervalle séparant une note du registre clairon, par exemple le mi clairon (mode 2), d'une note du registre aigu (le do#, dont le doigté est presque identique) : \(f_3/f_2=5/3=??\). Ici, l'intervalle le plus proche est une sixte. Encore une fois, on a un peu moins qu'une sixte.

Vous aurez remarqué que les deux paragraphes précédents contiennent pas mal de guillemets et d'italique. La raison est que la plupart des problèmes de justesse des clarinettes se situent précisément dans ce qui vient d'être décrit. En termes simples : le ratio entre les différents modes vibratoire ne tombe pas sur un intervalle musical parfait. Il va falloir apporter des corrections au modèle pour obtenir un bon alignement des différents registres sur les notes, et tout le problème va être d'apporter ces corrections sans perturber le timbre des différentes notes, autrement dit en conservant la meilleure intonation possible à chacune des notes de l'instrument.

Petite digression/variation : le tronc de cône divergent

Parlons un peu des troncs de cônes. Oui je sais, la clarinette est un cylindre, mais n'oublions pas qu'on a un sérieux problème à résoudre (l'alignement des registres), et que ce que nous allons apprendre sur les cônes pourra nous aider.

Le modèle graphique est présenté à la figure ci-dessous. Dans cette configuration, le calcul des fréquences naturelles est un petit peu plus complexe qu'avec un cylindre, puisqu'il s'exprime par :

\[\begin{array}{rcl} f_n & \cong & \left(\frac{c}{4L}\right)\sqrt{\left(2n-1\right)^{2}+\left(\frac{8}{\pi^{2}}\right)\left(\frac{L}{X_{0}}\right)} \\ & = & \left(\frac{c}{4L}\right)\left(2n-1\right)\sqrt{1+\left(\frac{8}{\pi^{2}}\right)\left(\frac{L}{X_{0}}\right)\left(\frac{1}{2n-1}\right)^{2}} \end{array}\]

Cette expression de \(f_n\) est approximative mais relativement bonne. Le terme \((\frac{L}{X_0})\) exprime la conicité. Dans l'expression finale, le terme \(\left(\frac{c}{4L}\right)\left(2n-1\right)\) est identique au cas du cylindre. Enfin, le terme \(\left(\frac{8}{\pi^{2}}\right)\left(\frac{L}{X_{0}}\right)\left(\frac{1}{2n-1}\right)^{2}\) devient négligeable quand \(n\) devient grand.

Cette formule de calcul de \(f_n\) fonctionne bien tant que \(X_0\gtrsim\left(1/3\right)L\).

Quand \(X_0\gtrsim L\) on utilise la formule déjà donnée dans le cas du cylindre. Cela se comprend car dans ce cas, notre tronc de cône ressemble de plus en plus à un cylindre. En revanche, quand \(L/2\gtrsim X_0\), on utilise la formule suivante : \[f_n \cong \frac{nc}{2\left(L+X_0\right)}\] Dans ce cas, le cône tend de plus en plus à être complet au fur et à mesure que \(X_0\) décroît. Pour un cône quasi-complet, \(f_1\) est pratiquement égal à \(2\times f_1\) de la perce cylindrique de référence et les \(f_n\) forment une série harmonique presque complète (pensez au son du saxophone). Cette approximation est assez utile à retenir dans notre cas.

Ce qu'il faut bien remarquer ici, c'est ce que nous apprend cette formule, à savoir :

  • tous les modes voient leur fréquence augmenter par rapport à leur ancêtre cylindrique (c'est assez moyennement important pour ce qui nous concerne, mais ça explique qu'un sax de même longueur qu'une clarinette sonne plus aigu).
  • puisque la quantité (le ratio) d'augmentation est plus petite pour les modes aigus que pour les modes graves, les intervalles musicaux entre les fréquences naturelles successives sont compressés par rapport à la série de référence des harmoniques impairs. C'est cette compression qui va être excessivement importante pour nous.
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Figure 3 : Tronc de cône divergent

L'allure des courbes d'impédance d'entrée de différents types de troncs de cônes est présentée à la figure ci-dessous.

courbe-resonance-cone.png
Figure 4 : Courbe de résonance de l’impédance d’entrée mesurée à une extrémité.

Ces trois courbes appellent quelques remarques très importantes pour notre problème En premier lieu, le pic 1 n'est pas le plus grand quand le cône est presque complet. En revanche, le pic 1 est le plus grand quand le cône est très incomplet. Ceci explique beaucoup d'aspects de la coloration du timbre des instruments à perce conique.

Mais il y a plus important. Élargir l'extrémité ouverte ou contracter l'extrémité fermée :

  • réduit les ratio \(f_{n+1}/f_n\) ;
  • augmente le plus \(f_1\), et les \(f_n\) plus aigus dans une moindre mesure.

Rétrécir vers l'extrémité ouverte ou élargir l'extrémité fermée provoque l'effet inverse. Ces deux principes soutendent la plupart des ajustements les plus simples de la forme d'une colonne d'air. On a donc ici un moyen d'apporter des corrections aux problèmes décrits dans la section précédente.

Trous et fréquence de coupure

Je ne vais pas faire de grands développements sur la question, mais j'aimerais revenir un petit peu sur ce que raconte Benade sur le fait qu'on peut jouer sur la position et le diamètre des trous, mais au risque de détruire le timbre.

Vous pouvez relire avec profit ce que je raconte dans cet article sur les trous. L'article en question traite essentiellement de la position et du diamètre des trous, c.-à-d. comment les placer pour accorder une note dans le premier mode. Rappelons juste brièvement quelques principes. Pour produire une note donnée :

  • un petit trou devra être situé beaucoup plus haut que sa position théorique.
  • un grand trou devra être assez peu remonté par rapport à sa position théorique.

Mais il y a un paramètre important : la fréquence de coupure \(f_c\). Chaque trou possède une fréquence de coupure. Intuitivement, il s'agit de la fréquence au delà de laquelle la source d'excitation ne pourra pas faire résonner les pics de la courbe d'impédance. La valeur de \(f_c\) dépend essentiellement des paramètre suivants :

  • le diamètre de la perce en regard du trou \(a\) ;
  • le diamètre du trou \(b\) ;
  • l'épaisseur du trou (en fait l'épaisseur acoustique, \(t_e=e+(3/4)b\), \(e\) étant l'épaisseur mesurée ;
  • la distance au trou situé immédiatement en dessous \(2s\) ;

La formule exacte est :

\[f_c=(c/2\pi)(b/a)\frac{1}{\sqrt{2s\; t_e}}\]

Comme d'habitude, \(c\) est la vitesse de propagation du son dans l'air.

De façon à avoir une perception du timbre homogène, les clarinettes sont conçues pour que la valeur de \(f_c\) soit pratiquement constante pour toutes les notes du premier mode (chalumeau et medium). Autrement dit, \(f_c\) va limiter les possibilités qu'a le facteur de « jouer » avec le placement et le diamètre des trous. Si les trous sont trop gros, \(f_c\) sera trop importante, cela a des conséquences en terme de timbre mais aussi d'énergie (et donc de rendement de l'instrument), sauf à réduire l'épaisseur… Regardez les trous situés dans le tiers inférieur d'une clarinette, pourquoi sont-ils si gros ? Parce que le choix des fabricants de clarinettes système Boehm de procéder à un élargissement progressif de la perce les a obligés à concevoir des trous très gros à l'épaisseur très fine pour compenser l'abaissement de la fréquence de coupure engendré par l'élargissement.

Ce qu'il faut retenir ici, c'est que la géométrie des trous a un impact important sur la qualité du timbre. On ne va donc pas pouvoir jouer avec n'importe comment pour corriger les problèmes de justesse.

Régime d'oscillation, niveau de jeu

Nous allons maintenant examiner l'influence de la dynamique de jeu sur le timbre, la hauteur et le volume des notes dans deux types de perce : perce conique et perce cylindrique. Nous verrons plus loin que cet aspect du fonctionnement d'un instrument à vent est important pour ce qui concerne l'accord.

Cas 1

Prenons l’exemple d’un instrument dont la courbe de résonance pour une des notes est donnée à la figure ci-dessous. Le pic 1 est à 200Hz, le pic 2 est aux alentours de 410Hz. Le pic 3 est à 610Hz et la fréquence de coupure du trou est aux alentours de 750Hz. La perce est clairement une perce conique.

intr-ex1.png
Figure 5 : Courbe de résonnance de la colonne d'air d'un instrument sur une note
  1. Jeu pianissimo : Le pic le plus élevé mène la danse, la fréquence de jeu est proche de 200Hz, et le spectre est presque exclusivement composé d'une sinusoïde à 200Hz.
  2. Jeu piano : la non linéarité de l'anche génère une seconde harmonique assez faible à 200Hz environ qui « parle » au pic 2. Clairement, l'énergie produite serait plus importante si cette seconde harmonique de l'anche était à 410Hz au lieu de 400Hz. Ce phénomène de « négociation » élève légèrement la fréquence de la note jouée, aux alentours de 203 ou 204Hz. En conclusion, pour le jeu piano, la note est légèrement plus haute, la seconde harmonique ressort plus que pour le jeu pianissimo. De plus, la hauteur de la note est mieux tenue, du fait de la présence de deux résonances qui imposent en quelque sorte à l'anche ce qu'elle doit faire.
  3. Jeu mezzopiano à mezzoforte : Il y a suffisamment d'harmonique 3 dans la vibration de l'anche pour qu'elle parle de façon appréciable au pic trois de la résonance de la colonne d'air. Sur cet instrument, le composant à \(3\times 203Hz\) fait bon ménage avec les deux composants plus graves et leurs pics correspondants. De plus il s'accorde bien avec le pic 3 à 610Hz. Le timbre est encore plus stable puisque 3 pics de résonance disent à l'anche ce qu'elle doit faire, et qu'ils sont bien d'accord. Le spectre est composé d'une dominante de la fondamentale à 203Hz, une bonne dose de seconde harmonique à 406Hz et une part significative de troisième harmonique à 609Hz. D'autre part, on note l'apparition d'autres composants (par action hétérodyne, je ne sais pas ce que c'est), mais situés au delà de la fréquence de coupure, et ne produisant donc pas d'énergie. Ce blocage du à la fréquence de coupure va empêcher le volume du son d'augmenter, même si l'instrumentiste souffle plus fort.

Cas 2

Prenons maintenant l'exemple d'une perce cylindrique. La courbe de résonance de la colonne d'air pour une note est décrite dans la figure ci-dessous.

instr-ex2.png
Figure 6 : Courbe de résonnance de la colonne d'air d'un instrument sur une note (perce cylmindrique)
  1. Le jeu pianissimo produit une note à 100Hz, ou le pic le plus grand est trouvé. Le spectre est une sinusoïde très pure.
  2. À un niveau de dynamique légèrement plus élevé, l'anche produit un petit peu d'harmonique à 200Hz, qui se retrouve dans un creux de la courbe de résonance. L'énergie est donc absorbée, et le niveau du signal généré n'augmente que très peu par rapport à l'augmentation du souffle. Il n'apparaît qu'un petit peu de la seconde harmonique dans le spectre.
  3. En soufflant plus fort, l'anche produit un peu de la 3ème harmonique. Ce composant à 300Hz trouve un pic de résonance de la colonne d'air avec lequel négocier, il y a donc un apport d'énergie à cette fréquence. Le volume du signal augmente donc.
  4. En continuant dans le crescendo, on constate une absorption d'énergie à 400Hz, suivie d'un apport à 500, suivi d'une absorption à 600, puis un apport à 700, pour finalement atteindre un niveau auquel tout accroissement de l'énergie se fait au prix d'un amortissement de plus en plus lourd à cause des composantes situées au delà de la fréquence de coupure.

C'est cette alternance d'absorptions et d'apports d'énergie qui rend la clarinette si expressive, et qui fait que le crescendo est facile à contrôler sur cet instrument.

Ce qu'il faut retenir ici tient à mon avis en deux points :

  • la négociation entre les régimes vibratoires de l'anche et ceux de la colonne d'air peut engendrer des problèmes de justesse (certains pics de résonance sont « tirés » vers le haut ou vers le bas).
  • les changements de géométrie d'une perce ont un impact en terme de dynamique de l'instrument.

Autrement dit autant de contraintes supplémentaires dont il faut tenir compte dans l'accord de l'instrument.

Conclusion (temporaire bien sûr)

Ouf ! Pas court ce topo hein ? Je vous répondrai que résumer l'étendue des problèmes posés en aussi peu de place sans trop faire de simplifications outrancières n'a pas été simple non plus. Et je n'ai pas tout dit ! Je n'ai pas parlé des trous fermés, qui ont aussi des influences, et d'autres choses encore...

Peut-être que j'essaierai d'aborder d'autres points de ce vaste sujet qu'est la justesse des instruments à vents dans d'autres articles, mais là je vais faire la pause et retourner à mes limes et mes fraises.

Notes de bas de page:

1

Arthur H. Benade, On the Tuning of Clarinets, The Clarinet, pp 18-20, November-December 1990.

2

Le terme réponse est ici une traduction directe de ce que les anglo-saxons appellent response. Cela correspond, si j'ai bien compris, à la réponse dynamique des notes. Autrement dit cela réfère à l'homogénéïté d'une note en terme de timbre suivant qu'on la joue piano ou forte.

3

NdT : de quelle expérimentation parle-t-il, de celle faite par les facteurs de cette époque, ou de celle faite a posteriori par les acousticiens ?

4

NdT : pensez au violon, au hautbois, à la trompette… (et même à la clarinette d'ailleurs, en particulier dans les répertoires traditionnels.

5

Ernest Ferron, Clarinette, mon amie, International Music Diffusion, 1994.

6

Bart Hopkin, Air Columns and Toneholes. Experimental Musical Instruments, revised edition, 1999

7

\(c\) dépend de la température de l'air ambiant et de la pression.

8

Notez qu'en tout état de cause, on peut parfaitement faire sonner le si clairon sans clé de registre. Il « suffit » d'imprimer la bonne fréquence d'excitation, c.-à-d. que cette fréquence d'excitation « résonne » avec la fréquence du si clairon. On peut y arriver par modification de la cavité buccale. C'est le principe de base de la production d'harmoniques.