Fabriquer un bec (II)

Dans la première partie, nous avous coupé le bambou, découpé et poncé le plan de collage de la mentonnière, découpé et collé la mentonnière. Aujourd'hui nous allons mettre en forme cette mentonnière et calculer la courbure de la table que nous réaliserons à l'étape suivante.

Mise en forme de la mentonnière

Nous avons terminé la dernière étape par le collage de la mentonnière. Maintenant que le collage est sec, on va la mettre en forme. Plusieurs techniques sont possibles, mais j'avoue que j'aime bien utiliser un couteau à sculpter. Quand il est bien aiguisé c'est un outil super agréable pour travailler le bois. Voila l'engin que j'utilise.

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Figure 1 : La machine à couper les doigts.

C'est suisse et ça tranche vraiment gravement. Avec ça on fait de beaux copeaux. Allez hop, c'est parti pour une petite série de photos sur la mise en forme, c'est le genre d'opération qui se passe aisément de discours.

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Figure 2 : Les mains toujours derrière la lame !
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Et voila le travail. Bien entendu, il faudra peaufiner ça. La facette est encore très très épaisse, car le façonnage de la courbure de table va l'abaisser, donc il vaut mieux garder de la marge. Enfin, il faudra poncer la surface pour avoir un aspect bien lisse. Mais on en est pas encore là. Voici le résultat intermédiaire.

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Bon. Vous devez avoir les doigts en compote à force de sculpter, alors on va faire une pause et en profiter pour préparer la suite du travail.

La table

La table que nous voulons obtenir ressemble à ça.

courbefinie.png

Quelques commentaires :

  • à droite de l'axe vertical, la table est plane. C'est sur cette partie que s'appuiera le talon de l'anche.
  • à gauche de l'axe vertical, la table est arrondie, créant un vide entre elle et l'anche. C'est cet espace qui va permettre à l'anche de vibrer (et à l'air de passer).

Avant de se préoccuper des dimensions de cette table (longueur de la courbure, forme de celle-ci, ...), on va commencer par réaliser une table complètement plane. Autrement dit, voici ce qu'on veut faire.

LigneDeCoupeTable.png

Nous verrons la prochaine fois comment réaliser cette table. Pour l'instant nous allons considérer que le travail est fait. Notez que les angles indiqués sur le schéma sont là pour vous donner un ordre d'idée. Ce ne sont pas des valeurs absolues à respecter absolument.

L'étape suivante est la réalisation de la courbure la table. C'est la partie la plus délicate et il convient de bien réfléchir et planifier ce que nous allons faire. Commençons par quelques généralités.

Nous partirons sur une courbure en arc de cercle. Ce type de courbure est communément utilisée sur les becs de saxophones. Pour les becs de clarinette, c'est plus compliqué, il y a des parties planes. Personnellement j'ai toujours utilisé l'arc de cercle et cela marche très bien.

Le cordon1 [1] est plan, et ce pour que le bout de l'anche vienne bien sceller le bout du bec lors de la vibration.

Pour déterminer la géométrie de la courbure, nous avons besoin de trois paramètres :

  • l'ouverture, c'est à dire la distance entre l'anche (le plan horizontal) et le cordon.
  • la longueur de table, c'est à dire la longueur de la partie courbe de la table (la longueur horizontable, projetée sur l'anche)
  • l'épaisseur de la facette, c'est à dire la longueur de la partie plane à l'extrémité.

Le schéma suivant récapitule ces trois paramètres.

parametres.png

À partir de ces trois paramètres, il faut maintenant déterminer :

  • le rayon de courbure ;
  • les coordonnées du point d'intersection entre la courbe et la facette (point \(M'\) sur le schéma suivant)

Allez, renaclez pas, c'est du niveau fin de 3ème.

Visualisons notre problème sur un petit dessin :

SchemaProbleme.png

Sur ce schéma, nos paramètres d'entrée sont :

  • l'ouverture, soit \(d(MP)\) (la distance de \(M\) à \(P\))
  • la longueur de table, soit \(d(OP)\)
  • l'épaisseur de la facette, soit \(d(M,M')\).

Et nos inconnues sont :

  • \(d(X,0)\), le rayon de l'arc de cercle (ou \(d(X,M')\), ça revient au même) ;
  • Les coordonnées du point \(M'\)

Fastoche non ?

Première étape : on détermine l'abscisse du point \(C\), intersection de la droite \(MM'\) avec l'axe des x. Pour cela, on peut utiliser une propriété qui nous dit que \(d(OC)=d(CM')\), sachant que \(d(OC)\) n'est rien d'autre que l'abscisse du point \(C\). On sait aussi que \(C\), \(M\) et \(M'\) sont alignés. Après un peu de cuisine, on obtient les coordonnées du point \(C\) :

\[\begin{array}{rcl} x_C & = & \frac{d(OP)^2+d(MP)^2-d(MM')^2}{2(d(OP)+d(M,M'))} \\ y_C & = & 0 \end{array}\]

Ensuite on détermine l'équation de la droite \(CM\), en calculant son cœfficient directeur \(a_{CM}\) et son ordonnée à l'origine \(b_{CM}\) :

\[\begin{array}{rcl} a_{CM} & = & \frac{d(M,P)}{d(O,P)-x_C} \\ b_{CM} & = & -x_C\frac{d(M,P)}{d(O,P)-x_C} \end{array}\]

Puis on calcule les différences d'abscisse \(dx\) et d'ordonnée \(dy\) entre \(M\) et \(M'\) :

\[\begin{array}{rcl} dy & = & \frac{a_{CM} \times d(M,M')}{1+a_{CM}^2} \\ dx & = & \sqrt{d(M,M')^2 - dy^2} \end{array}\]

Remarque : pour arriver à \(dy\) pensez à Thalès, pour \(dx\) à Pythagore.

De là on obtient les coordonnées de \(M'\) :

\[\begin{array}{rcl} x_{M'} & = & d(O,P) - dx \\ y_{M'} & = & d(M,P) - dy \end{array}\]

Ce qui nous mène à déterminer le cœfficient directeur \(a_\Sigma\) et l'ordonnée à l'origine \(b_\sigma\) de la droite \(\Sigma\) perpendiculaire à \(CM\) et passant par \(M'\).

\[\begin{array}{rcl} a_\Sigma & = & -\frac{1}{a_{CM}} \\ b_\Sigma & = & y_{M'} + \frac{x_{M'}}{a_{CM}} \end{array}\]

Et là tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes possible, puisque \(b_\Sigma=d(O,X)=d(X,M')\), soit le rayon de courbure tant recherché !

Je vous laisse réfléchir à tout ça. La prochaine fois nous verrons comment réaliser cette courbure précisément. En attendant trouvez vous un jeu de cales (genre cales à bougies auto), avec la cale la plus fine descendant à 5/100mm (certains magasins de vente par correspondance d'outillage de modélisme en vendent).

Notes de bas de page:

1

ou facette. Voir le schéma terminologique de l'article précédent.